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《不等关系与不等式》福建西山学校高三数学优秀教案
2013-11-22 08:35:29 来源：点击：

课题		第1讲　不等关系与不等式(1)
主备：		审核：				日期：13年月日星期
2014高考形式预测		结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．
复习指导		不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．
基础梳理 1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 3．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒aⁿ＞bⁿ(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．双基自测 1．(人教A版教材习题改编)给出下列命题：①a＞b⇒ac²＞bc²；②a＞\|b\|⇒a²＞b²；③a＞b⇒a³＞b³；④\|a\|＞b⇒a²＞b².其中正确的命题是(　　)． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析　当c＝0时，ac²＝bc²，∴①不正确；a＞\|b\|≥0，a²＞\|b\|²＝b²，∴②正确；a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)＝(a－b)·＞0，∴③正确；取a＝2，b＝－3，则\|a\|＞b，但a²＝4＜b²＝9，∴④不正确．答案　B 2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　　)． A．v＜40 km/h B．v＞40 km/h C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h 答案　D 3．(2012·银川质检)已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac²＞bc²”的(　　)． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析　a＞b /⇒ac²＞bc²，∵当c²＝0时，ac²＝bc²；反之，ac²＞bc²⇒a＞b. 答案　B 4．已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是(　　)． A．ad＞bc B．ac＞bd C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 解析　由不等式性质知：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. 答案　D 5.与＋1的大小关系为________．解析　－(＋1)＝(＋1)－(＋1)＝－＜0， ∴＜＋1. 答案　＜＋1										备注：
课题			第1讲　不等关系与不等式(2)
主备：			审核:				日期：		13年月日星期
2014高考形式预测			结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．
复习指导			不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．
考向一　比较大小【例1】►已知a，b，c是实数，试比较a²＋b²＋c²与ab＋bc＋ca的大小． [审题视点] 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解　∵a²＋b²＋c²－(ab＋bc＋ca)＝[(a－b)²＋(b－c)²＋(c－a)²]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号． ∴a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ca. 方法总结：比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是(　　)． A.＞1 B．a²＞b² C．lg(a－b)＞0 D.^a＜^b 解析　令a＝2，b＝－1，则a＞b，＝－2，故＞1不成立，排除A；令a＝1，b＝－2，则a²＝1，b²＝4，故a²＞b²不成立，排除B；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0，排除C；f(x)＝^x在R上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)．答案　D										备注：

课题		第1讲　不等关系与不等式(3)
主备：		审核：		日期：	13年月日星期
2014高考形式预测		结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．
复习指导		不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．
考向二　不等式的性质【例2】►(2012·包头模拟)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)＋＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，∴(1)错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，∴(2)正确． ∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，∴(3)正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确，故选C.答案　C 【训练2】已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是(　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　命题1：若ab＞0，＞，则bc＞ad；命题2：若ab＞0，bc＞ad，则＞；命题3：若＞，bc＞ad，则ab＞0. 答案　D						备注：

课题		第1讲　不等关系与不等式(4)
主备：		审核：		日期：	13年月日星期
2014高考形式预测		结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．
复习指导		不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．
考向三　不等式性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝ax²＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围． [审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．解　f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b. 设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. ∴∴∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10. 方法总结：由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．【训练3】若α，β满足试求α＋3β的取值范围．解　设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β. 由解得∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， ∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.						备注：

课题		第1讲　不等关系与不等式(5)
主备：		审核：		日期：	13年月日星期
2014高考形式预测		结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．
复习指导		不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．
考向四　利用不等式的性质证明简单不等式【例4】►设a＞b＞c，求证：＋＋＞0. [审题视点] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证．证明　∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0，∴＞＞0. ∴＋＞0.又b－c＞0，∴＞0.＋＋＞0. 方法总结： (1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件． (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．【训练4】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)²＞(b－d)²＞0.∴0＜＜. 又∵e＜0，∴＞.						备注：

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